Question

已知函数f（x）=3x+2-

a

x

-（3a+1）lnx （x＞0，实数a为常数）．
（Ⅰ）a=4时 求函数f（x）在（

1

3

，+∞）上的最小值；
（Ⅱ）设

1

3

＜a＜

1

2

，求证：不等式|f（x₁）-f（x₂）|＜|x₁-x₂|对于任意不相等的x₁，x₂∈（

1

3

，a）都成立．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求导函数，确定函数的单调性，即可求得函数的最值；
（Ⅱ）先确定f（x）在（

1

3

，a）上单调递减，不妨设x₁＜x₂，则当x₁，x₂∈（

1

3

，a）时，f（x₁）＞f（x₂），证明不等式|f（x₁）-f（x₂）|＜|x₁-x₂|，即证f（x₁）+x₁＜f（x₂）+x₂．

解答：（Ⅰ）解：a=4时，f′(x)=

(3x-1)(x-4)

x2

，…（2分）
令f′（x）＜0，可得x∈（

1

3

，4），令f′（x）＞0，由于x＞

1

3

，可得x∈（4，+∞），
∴f（x）在（

1

3

，4）上单调递减，在（4，+∞）上单调递增                         …（4分）
∴在区间（

1

3

，+∞）上，当x=4时，f（x）有最小值f（4）=13-26ln2         …（6分）
（Ⅱ）证明：当

1

3

＜a＜

1

2

，f′(x)=

(3x-1)(x-a)

x2

，∴f（x）在（

1

3

，a）上单调递减，
不妨设x₁＜x₂，则当x₁，x₂∈（

1

3

，a）时，f（x₁）＞f（x₂），
故不等式|f（x₁）-f（x₂）|＜|x₁-x₂|等价于f（x₁）+x₁＜f（x₂）+x₂，…（10分）
令函数g（x）=f（x）+x，则g′（x）=f′（x）+1=

4x2-(3a+1)x+a

x2

再令h（x）=4x²-（3a+1）x+a，对称轴x=

3a+1

8

＜

1

3

（由于a＜

1

2

），
∵h（

1

3

）=

1

9

＞0，h（a）=a²＞0，∴h（x）＞0当x∈（

1

3

，a）时恒成立，
即g′（x）＞0当x∈（

1

3

，a）时恒成立，所以g（x）在（

1

3

，a）上为增函数，
所以f（x₁）+x₁＜f（x₂）+x₂，
从而不等式|f（x₁）-f（x₂）|＜|x₁-x₂|对于任意不相等的x₁，x₂∈（

1

3

，a）都成立．  …（15分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．