Question

16．如图所示，某居民小区内建一块直角三角形草坪ABC，直角边AB=40米，AC=40$\sqrt{3}$米，扇形花坛ADE是草坪的一部分，其半径为20米，为了便于居民平时休闲散步，该小区物业管理公司将在这块草坪内铺设两条小路OM和ON，考虑到小区整体规划，要求M、N在斜边BC上，O在弧$\widehat{DE}$上，OM∥AB，ON∥AC，．
（1）设∠OAE=θ，记f（θ）=OM+ON，求f（θ）的表达式，并求出此函数的定义域；
（2）经核算，两条路每米铺设费用均为400元，如何设计θ的大小使铺路的总费用最低？并求出最低总费用．

Answer 1

分析 （1）过O、N作AC的垂线交AC与F、G两点，求出OM，ON，即可求出f（θ）的表达式，并求出此函数的定义域；
（2）利用辅助角公式化简，即可得出结论．

解答 解：（1）如图过O、N作AC的垂线交AC与F、G两点，则AF=20cosθ，OF=NG=20sinθ，CG=20$\sqrt{3}sinθ$，
∴ON=$40\sqrt{3}-20（\sqrt{3}sinθ+cosθ）$，OM═$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$ON，
则l=（1+$\frac{\sqrt{3}}{3}$）[$40\sqrt{3}-20（\sqrt{3}sinθ+cosθ）$]，$θ∈[{0，\frac{π}{2}}]$，…8分
（2）$l=（{1+\frac{{\sqrt{3}}}{3}}）[40\sqrt{3}-40sin（θ+\frac{π}{6}）]$，…12分
∵$θ∈[{0，\frac{π}{2}}]$，
∴$θ+\frac{π}{6}∈[{\frac{π}{6}，\frac{2π}{3}}]$，
∴$当θ+\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$，即$θ=\frac{π}{3}$，总费用最少为$\frac{32000}{3}\sqrt{3}$…16分．

点评 本题主要考查了借助于三角函数解三角形在实际问题中的应用，考查了利用数学知识解决实际问题的能力，及推理运算的能力．