Question

5．如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直棱柱，AB⊥AC，AB=AC=AA₁=2，点M，N分别是A₁B和A₁C的中点．
（1）求证：直线MN∥面ABC
（2）求三棱锥B-ACM的体积．

Answer 1

分析 （1）由已知结合三角形中位线定理可得MN∥BC，再由线面平行的判断得答案；
（2）利用等积法把三棱锥B-ACM的体积转化为三棱锥M-ABC的体积求解．

解答 证明：（1）如图，在△A₁BC中，

∵点M，N分别是A₁B和A₁C的中点，
∴MN∥BC，又BC?平面ABC，MN?平面ABC，
∴MN∥面ABC；
解：（2）∵AB⊥AC，AB=AC=2，
∴${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}×2×2=2$，
在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
又M为A₁B的中点，且AA₁=2，
∴M到平面ABC的距离为1．
∴${V}_{B-ACM}={V}_{M-ABC}=\frac{1}{3}×2×1=\frac{2}{3}$．

点评 本题考查直线与平面平行的判断，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．