Question

已知椭圆的离心率为，且短轴长为2．
（I）求椭圆方程；
（II）过点（m，0）作圆x²+y²=1的切线交椭圆于A、B两点，试将|AB|表示为m的函数，并求|AB|的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（I）椭圆的离心率为，且短轴长为2，确定几何量，从而可求椭圆方程；
（II）分m=1，m=-1及m≠±1，分别求出|AB|的长度，利用直线方程与椭圆方程进行联立，利用根与系数的关系得到k与m之间关系等式，利用弦长公式求得弦长，再利用基本不等式，即可求得结论．
解答：解：（I）∵椭圆的离心率为，且短轴长为2
∴
∵a²=b²+c²
∴a²=4
∴椭圆方程为
（II）由题意知：|m|≥1，
当m=1时，切线l的方程为x=1，点A（1，）  点B（1，-） 此时|AB|=；
当m=-1时，同理可得|AB|=；
当m≠±1时，设切线l的方程为：y=k（x-m），由可得（1+4k²）x²-8k²mx+4k²m²-4=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）则x₁+x₂=，
∵l与圆x²+y²=1相切
∴圆心到直线l的距离等于圆的半径，即=1
∴m=，
所以|AB|=
==
由于当m=±1时，|AB|=，
当m≠±1时，|AB|=，此时m∈（-∞，-1）∪（1，+∞）
又|AB|=≤2，（当且仅当m=±时，|AB|=2），
所以，|AB|的最大值为2．
故|AB|的最大值为2．
点评：本题重点考查了椭圆及圆的标准方程，考查了点到直线的距离公式，联立直线与椭圆的方程利用整体代换的思想建立m与k的关系等式是解题的关键．