Question

一个圆锥形的空杯子，上面放着一个半球形的冰淇淋，形成如图所示的几何体．
（1）求该几何体的表面积；（精确到0.1cm²）
（2）如果冰淇淋融化了，会溢出杯子吗？请用有关数据说明．（杯壁的厚度忽略不计）

Answer 1

分析：（1）该几何体的表面的上部分是一个半径为3cm的半球，下部分是底面半径为3cm，高为10cm的圆锥．利用勾股定理计算出圆锥的母线长，可得圆锥的侧面积，再结合球的表面积公式，即可算出该几何体的表面积；
（2）分别计算出上部分半球的体积和下部分圆锥的体积，得到半球的体积小于圆锥的体积，从而得到冰淇淋融化了不会溢出杯子．

解答：解：（1）根据题意，该几何体的表面的上部分是一个半径为3cm的半球，下部分是底面半径为3cm，高为10cm的圆锥
由勾股定理，得圆锥的母线长为l=

32+102

=

109

cm
∴S_圆锥侧=πrl=3

109

πcm²
又∵上部分半球的面积为：S_半球=

1

2

×4π×3²=18πcm²
∴该几何体的表面积为：S_表=S_半球+S_圆锥=3

109

π+18π----------4分
=(18+3

109

)π≈154.9cm²-----------------6分
（2）若上部分半球的体积不大于下部分圆锥的体积时，冰淇淋不会溢出杯子，否则就会溢出杯子
∵V半球=

1

2

×

4

3

π×33=18π，V圆锥=

1

3

π×32×10=30π-----------------------------10分
∴V_半球＜V_圆锥，可得冰淇淋不会溢出杯子--------------------------------------------1分．

点评：本题给出一个组合式的几何体，求它的表面积和体积，着重考查了球和圆锥的表面积公式和体积公式，属于基础题．