Question

已知函数对任意的恒有成立.
(1)记如果为奇函数，求b，c满足的条件；
(2)当b=0时，记若在）上为增函数，求c的取值范围；
(3)证明：当时，成立；

Answer 1

（1）；（2）；（3）证明见解析．

试题分析：（1）首先要讨论题设的先决条件对恒成立，，即恒成立，这是二次不等式，由二次函数知识，有，化简之后有，从而．为上的奇函数，可根据奇函数的必要条件有，得，则，显然满足，为奇函数，也可由恒成立，也可求得；（2）时，在上是增函数，我们用增函数的定义，即设，恒成立，分析后得出的范围；（3）
，问题变成证明在时恒成立，在的情况下，，而，可见，那当时，一定恒有，问题证毕．
试题解析：：（1）因为任意的恒有成立，
所以对任意的，即恒成立．
所以，从而.，即：．
设的定义域为，因为为奇函数，
所以对于任意，成立．解得．
所以．
（2）当时，记（）
因为在上为增函数，所以任取，时，
恒成立．
即任取，，成立，也就是成立．
所以，即的取值范围是．
（3）由（1）得，且，
所以，因此.
故当时，有.
即当时，.