Question

【题目】设抛物线的焦点为，准线为，点在抛物线上，已知以点为圆心， 为半径的圆交于两点.

（Ⅰ）若， 的面积为4，求抛物线的方程；

（Ⅱ）若三点在同一条直线上，直线与平行，且与抛物线只有一个公共点，求直线的方程.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) (Ⅱ) ， .

【解析】试题分析：

(Ⅰ)由题意结合抛物线的对称性可知是等腰三角形，设准线与轴交于点，结合抛物线的性质可得，求解关于实数p的方程可得抛物线方程为；

(Ⅱ)由对称性不妨设，则，结合中点坐标公式有B，由抛物线准线方程的性质有，则A， ，结合导函数的性质可得切点坐标为，则直线的方程为， .

试题解析：

（Ⅰ）由对称性知， 是等腰三角形.

∵，点到准线的距离为，设准线与轴交于点，

即， ，

∴.

∴抛物线方程为；

（Ⅱ）由对称性不妨设，则.

∵点关于点对称，

∴点的坐标为.

∵点在准线上，

∴.

∴.

∴点坐标为.

∴.

又∵直线与直线平行，

∴.

由已知直线与抛物线相切，设切点为，

∴.

∴.

∴切点.

∴直线的方程为，即.

由对称性可知，直线有两条，分别为， .