Question

“a≥0”是“函数f（x）=|（ax-1）x|在区间（-∞，0）内单调递减”的（　　）

• A、充要条件
• B、必要不充分条件
• C、充分不f（x）=|（ax-1）x|必要条件
• D、即不充分也不必要条件

Answer 1

分析：根据二次函数的单调性，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．

解答：解：当a=0，f（x）=|（ax-1）x|=|x|=

x，x≥0 -x，x＜0

，满足在区间（-∞，0）内单调递减．
当a＞0时，f（x）=|ax²-x|=|a（x²-x）|=|a（x-

1

2a

）²-

1

4a

|，
则函数f（x）的对称轴为x=

1

2a

＞0，
又f（x）=|ax²-x|=|ax（x-

1

a

）|=0得两个根分别为x=0或x=

1

a

＞0，
∴函数f（x）=|ax²-x|在区间（-∞，0）内单调递减，正确．
当a=0时，函数f（x）=|ax²-x|=|x|，满足在区间（-∞，0）上单调递减”，
当a＞0时，f（x）=|ax²-x|=|ax（x-

1

a

）|=0得两个根分别为x=0或x=

1

a

＞0，此时满足条件．
当a＜0时，f（x）=|ax²-x|=|ax（x-

1

a

）|=0得两个根分别为x=0或x=

1

a

＜0，函数在（-∞，

1

a

）上单调递增，
∴此时a＜0不成立．
综上此时a≥0．
∴“a≥0”是“函数f（x）=|（ax-1）x|在区间（-∞，0）内单调递减”的充要条件．
故选：A．

点评：本题主要考查函数单调性的判断和应用，利用充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．