Question

（2013•大连一模）下列说法正确的是（　　）

• A．?x∈（0，π），均有sinx＞cosx
• B．命题“?x∈R使得x²+x+1＜0”的否定是：“?x∈R，均有x²+x+1＜0”
• C．“a=0”是“函数f（x）=x³+ax²+x为奇函数”的充要条件
• D．?x∈R，使得sinx+cosx=

  5

  3

  成立

Answer 1

分析：选项A，可举x=

π

6

说明错误；选项B，正确的应为“?x∈R，均有x²+x+1≥0”；选项C，可由奇函数的性质说明正确；选项D，由三角函数的知识可得sinx+cosx的值域为[-

2

，

2

]，因为

5

3

∉[-

2

，

2

]，故错误．

解答：解：选项A，当x=

π

6

时，sin

π

6

=

1

2

，cos

π

6

=

3

2

，显然有x∈（0，π），但sinx＜cosx，故A错误；
选项B，命题“?x∈R使得x²+x+1＜0”的否定应该为：“?x∈R，均有x²+x+1≥0”，故B错误；
选项C，当a=0时，数f（x）=x³+x显然为奇函数，当f（x）=x³+ax²+x为奇函数时，由f（0）=0可得a=0，
故“a=0”是“函数f（x）=x³+ax²+x为奇函数”的充要条件，故C正确；
选项D，sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

）∈[-

2

，

2

]，因为

5

3

∉[-

2

，

2

]，
故不存在x∈R，使sinx+cosx=

5

3

，故D错误．
故选C

点评：本题考查命题真假的判断，涉及函数的奇偶性和三角函数的性质以及特称命题的否定，属基础题．