Question

4．已知函数f（x）=x²-4x+4
（1）若g（x）=f（x）-cx为偶函数，求实数c的值；
（2）若h（x）=$\frac{f（x）}{x}$，用定义证明函数h（x）在区间[2，+∞）上是递增函数．

Answer 1

分析 （1）若g（x）=f（x）-cx为偶函数，则g（-x）=g（x）恒成立，可得实数c的值；
（2）任取2≤x₁＜x₂，分析h（x₂）与h（x₁）的大小，进而根据单调性的定义，可得答案．

解答 解：（1）∵g（x）=f（x）-cx=x²-（4+c）x+4为偶函数，
∴g（-x）=g（x）恒成立，
即（-x）²-（4+c）（-x）+4=x²-（4+c）x+4，
∴c=-4；
（2）h（x）=$\frac{f（x）}{x}$=$x+\frac{4}{x}-4$，
设2≤x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0，x₁•x₂＞4，即x₁•x₂-4＞0，
∴h（x₂）-h（x₁）=（${x}_{2}+\frac{4}{{x}_{2}}-4$）-（${x}_{1}+\frac{4}{{x}_{1}}-4$）=（x₂-x₁）•$\frac{{x}_{1}{x}_{2}-4}{{x}_{1}{x}_{2}}$＞0，
∴h（x₂）＞h（x₁），
∴函数h（x）在区间[2，+∞）上是递增函数．

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，函数的单调性和函数的奇偶性，难度中档．