Question

15．设函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（\frac{1}{2}）^{x}-a，x＜1}\\{1-\frac{1}{x}，x≥1}\end{array}\right.$，当a=0时，f（x）的值域为[0，+∞）；若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围是a＞$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 由分段函数可得，分段函数值域，从而得到函数的值域；再由分段函数分别确定方程的根的个数即可．

解答 解：当a=0时，x＜1时，
f（x）=$（\frac{1}{2}）^{x}$＞$\frac{1}{2}$；
当x≥1时，0≤1-$\frac{1}{x}$＜1；
故f（x）的值域为[0，+∞）；
解：当x≥1时，f（x）有一个零点x=1，
故当x＜1时，f（x）还有一个零点，
即$（\frac{1}{2}）^{x}$-a=0有解，
∵$（\frac{1}{2}）^{x}$＞$\frac{1}{2}$，
∴a＞$\frac{1}{2}$；
故实数a的取值范围是a＞$\frac{1}{2}$．
故答案为：[0，+∞），a＞$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了分段函数的应用及函数的零点的求法及应用．