Question

15．设函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=2^x+1，若f（a）＜3，则实数a的取值范围为（-1，1）．

Answer 1

分析 根据题意，由函数在[0，+∞）上的解析式可得若f（x）=3，即2^x+1=3，解可得x=1，进而分析可得函数在[0，+∞）上为增函数，结合函数的奇偶性与单调性可将不等式f（a）＜3转化为|a|＜1，解可得a的取值范围，即可得答案．

解答 解：根据题意，当x≥0时，f（x）=2^x+1，
若f（x）=3，即2^x+1=3，解可得x=1，
故不等式f（a）＜3可以转化为f（a）＜f（1），
又由函数为偶函数，则f（a）＜f（1）可以转化为f（|a|）＜f（1），
又由当x≥0时，f（x）=2^x+1，
则f（x）在[0，+∞）上为增函数，
即有|a|＜1，
解可得-1＜a＜1，即实数a的取值范围为（-1，1）
故答案为：（-1，1）．

点评 本题考查函数奇偶性的性质，解题时注意函数奇偶性与图象的对称性之间的关系．