Question

设S_n是数列[a_n}的前n项和，a1=1，

S

2 n

=an(Sn-

1

2

)，(n≥2)．
（1）求{a_n}的通项；
（2）设bn=

Sn

2n+1

，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）由条件可得n≥2时，

S

2 n

=(Sn-Sn-1)(Sn-

1

2

)，整理可得

1

Sn

-

1

Sn-1

=2，故数列{

1

sn

}是以2为公差的等差数列，其首项为

1

S1

=1，由此求得s_n．再由an=

2 S 2 n

2Sn-1

求出{a_n}的通项公式．
（2）由（1）知，bn=

Sn

2n+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，用裂项法求出数列{b_n}的前n项和T_n．

解答：解：（1）∵

S

2 n

=an(Sn-

1

2

)，
∴n≥2时，

S

2 n

=(Sn-Sn-1)(Sn-

1

2

)，
展开化简整理得，S_n-1-S_n =2S_n-1S_n，∴

1

Sn

-

1

Sn-1

=2，∴数列{

1

sn

 }是以2为公差的等差数列，其首项为

1

S1

=1．
∴

1

Sn

=1+2(n-1)，Sn=

1

2n-1

．
由已知条件

S

2 n

=an(Sn-

1

2

) 可得 an=

2 S 2 n

2Sn-1

=

1，n=1 -2 (2n-1)(2n-3) ，n≥2

．
（2）由于 bn=

Sn

2n+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
∴数列{b_n}的前n项和 Tn=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+(

1

5

-

1

7

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]，
∴Tn=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

．

点评：本题主要考查根据递推关系求数列的通项公式，等差关系的确定，用裂项法对数列进行求和，属于中档题．