Question

【题目】已知椭圆的中心在原点，离心率等于，它的一个短轴端点恰好是抛物线的焦点.

（1）求椭圆的方程；

（2）已知、是椭圆上的两点，是椭圆上位于直线两侧的动点.

①若直线的斜率为，求四边形面积的最大值；

②当运动时，满足，试问直线的斜率是否为定值，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）直线的斜率为定值。

【解析】试题分析：

（1）由抛物线的焦点坐标可得，再结合离心率可求得，从而可得椭圆的方程．（2）①设直线方程为，，将直线方程与椭圆方程联立消元后可得，然后由四边形的特点得，根据函数的知识可得的最大值．②由可得直线的斜率之和为0，设的方程为，与椭圆方程联立消元后可得，同理，然后根据斜率公式求得直线AB的斜率验证即可．

试题解析：

（1）由题意得抛物线的焦点为，

∴，

∵，

∴

∴，

∴椭圆的方程为．

（2）①由题意设直线方程为，

由消去y整理得，

∵直线AB与椭圆交于两点，

∴，解得．

设，

则，

又，

∴，

∴当时，取得最大，

即四边形面积的最大值为．

②当时，直线的斜率之和为0，

设直线的斜率为，则直线的斜率为，

故直线的方程为，

由消去y整理得

，

∴，

同理．

∴，

∴，

故直线的斜率为定值．