Question

已知是函数的一个极值点，其中，

（I）求与的关系式；

（II）求的单调区间；

（III）当时，函数的图象上任意一点的切线斜率恒大于，求的取值范围.

Answer 1

（I）解

因为是函数的一个极值点,所以，

所以

（II）由（I）知，.

当时，有，当变化时，与的变化如下表：

				1
	<0	0	>0	0	<0
	单调递减	极小值	单调递增	极大值	单调递减

由上表知，当时，在单调递减，在单调递增，在上单调递减.

（III）解法一：

由已知，得，即

∵，

∴

即      （*）

设，其函数图象的开口向上，

由题意（*）式恒成立，∴

                  

                   ∴.

即的取值范围为

解法二：由已知，得，即，

∵，

∴      （*）

     1*    x=1时，（*）式化为0<1恒成立，∴。

     2*    x≠1时，∵∴

                    （*）式化为

   令t= x－1，则t∈[－2,0)，记

    则g(t)在区间[－2,0)是单调增函数。

∴

由（*）式恒成立，必有，

∴

综上1*、2*知