Question

某城市规划部门计划依托一矩形花园ABCD将之扩建成一个再大些的矩形花园AMPN，要求B在AM上，D在AN上，且对角线MN过C点，已知AB=3米，AD=2米．现有一飞鸟在矩形花园AMPN上空自由飞翔，并确定在花园AMPN内休息．
（1）要使飞鸟恰巧停在矩形花园ABCD内的概率不大于

3

16

，则AN的长应在什么范围内？
（2）当AN的长度是多少时，矩形AMPN的面积最小？并求最小面积．

Answer 1

分析：（1）由题意设出AN的长为x米，因为三角形DNC∽三角形ANM，则对应线段成比例可知AM，表示出矩形AMPN的面积，然后根据飞鸟恰巧停在矩形花园ABCD内的概率不大于

3

16

，建立不等式，解之即可；
（2）利用a+b≥2

ab

当且仅当a=b时取等号的方法求出S的最大值即可．

解答：解：（1）设AN=x米，（x＞2），则ND=x-2
∵

ND

DC

=

AN

AM

∴

x-2

3

=

x

AM

∴AM=

3x

x-2

                                         …2 分
故飞鸟停在小花园中的概率为P，P=

SABCD

SAMPN

=

6

3x x-2 •x

=

2(x-2)

x2

  …4 分
由题意：

2(x-2)

x2

≤

3

16

                                   …5 分
∴3x²-32x+64≥0                                            …（7分）
即（3x-8）（x-8）≥0
∴2＜x≤

8

3

或x≥8                                              …（8分）
（2）S_AMPN=

3x2

x-2

=

3(x-2)2+12(x-2)+12

x-2

                   …（12分）
=3（x-2）+

12

x-2

+12   …（14分）
≥2

36

+12=24                                      …（15分）
此时x=4     当AN的长度是4米时，矩形AMPN的面积最小，最小面积为24米²．      …（16分）

点评：考查学生会根据实际问题选择函数关系的能力，利用导数求闭区间上函数最值的能力．以及用a+b≥2

ab

当且仅当a=b时取等号的方法求最值的能力．