Question

如图所示，在梯形ABCD中，AB＝10，CD＝6，AD＝BC＝4，动点P从B点开始沿着折线BC，CD，DA前进至A，若P点运动的路程为x，△PAB的面积为y．

(1)写出y＝f(x)的解析式，指出函数的定义域；

(2)画出函数的图像并求出函数的值域．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)分类讨论： 　　①当P在BC上运动时，易知∠B＝60°，则 　　y＝×10×(xsin60°)＝x，0≤x≤4． 　　②当P点在CD上运动时， 　　y＝×10×4×sin60°＝，4＜x≤10． 　　③当P在DA上运动时， 　　y＝×10×(14－x)sin60°＝x＋，10＜x≤14． 　　综上所得，函数的解析式为 　　y＝f(x)＝ 　　(2)f(x)的图像如图所示． 　　由图像可知，y的取值范围是0≤y≤， 　　即函数f(x)的值域为[0，]． 　　思路分析：本题考查的是分段函数及函数的定义域、解析式、值域等知识，以及应用知识解决实际问题的能力．首先通过画草图可以发现，P点运动到不同的位置，y的求法是不同的(如图的阴影部分所示)． 　　可以看出上述三个阴影三角形的底是相同的，它们的面积由其高来定，所以只要由运动路程x来求出各段的高即可． 　　绿色通道：1．求实际问题中函数的解析式，其关键是充分利用条件建立关于变量x、y的等式，即目标函数．确定函数的定义域时，除了考虑函数解析式自身的限制条件外，还要考虑到它的实际意义． 　　2．解实际问题时常用到分类讨论和数形结合的思想，这是历年的高考热点，也是今后高考命题的方向．其解题步骤是：①审题，分析变量及其取值范围；②建立函数模型，转化为数学问题；③解决数学问题即函数问题；④将数学问题的结论还原为实际．