Question

P是椭圆

x2

9

+

y2

4

=1上的点，F₁、F₂ 是两个焦点，则|PF₁|•|PF₂|的最大值与最小值之差是

5

．

Answer 1

分析：由题意，设|PF₁|=x，故有|PF₁|•|PF₂|=x（6-x）=-x²+6x=-（x-3）²+9，其中3-

5

≤x≤3+

5

．根据 函数y=-x²+6x在（3-

5

，3）上单调递增，(3，3+

5

)上单调递减，可求y=-x²+6x的最小值与最大值，从而可求|PF₁|•|PF₂|的最大值和最小值之差．

解答：解：由题意，设|PF₁|=x，
∵|PF₁|+|PF₂|=2a=6，
∴|PF₂|=6-x
∴|PF₁|•|PF₂|=x（6-x）=-x²+6x=-（x-3）²+9
∵椭圆c=

5

，a=3
∴3-

5

≤x≤3+

5

∵函数y=-x²+6x在（3-

5

，3）上单调递增，(3，3+

5

)上单调递减
∴x=3-

5

时，y=-x²+6x取最小值(3-

5

)(3+

5

)=4，
x=3时，y=-x²+6x取最大值为9
∴|PF₁|•|PF₂|的最大值和最小值之差为9-4=5
故答案为：5

点评：本题以椭圆的标准方程为载体，考查椭圆定义的运用，考查函数的构建，考查函数的单调性，属于基础题．