Question

【题目】如图①，在等腰梯形中，分别为的中点 为中点,现将四边形沿折起，使平面平面，得到如图②所示的多面体，在图②中.

（1）证明：；

（2）求三棱锥的体积．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）由已知可得EF⊥AB，EF⊥CD，折叠后，EF⊥DF，EF⊥CF，利用线面垂直的判定得EF⊥平面DCF，从而得到EF⊥MC；（Ⅱ）由已知可得，AE＝BE＝1，DF＝CF＝2，又DM＝1，得到MF＝1＝AE，然后证明AM⊥DF，进一步得到BE⊥平面AEFD，再由等积法求三棱锥M﹣ABD的体积．

（Ⅰ）由题意，可知在等腰梯形中，，

∵，分别为，的中点，

∴，.

∴折叠后，，.

∵，∴平面.

又平面，∴.

（Ⅱ）易知，.

∵，∴.

又，∴四边形为平行四边形.

∴，故.

∵平面平面，平面平面，且，

∴平面.

∴

.

即三棱锥的体积为.