Question

已知函数y=3sin（

1

2

x-

π

4

）．
（1）用“五点法”作函数的图象；
（2）求此函数的最小正周期、对称轴、对称中心、单调递增区间．
（3）说出此图象是由y=sinx的图象经过怎样的变化得到的．

Answer 1

分析：（1）五点法作图的五点分别是三个零点与两个最值点，对此题五点的选取可令相位

1

2

x-

π

4

为0，

π

2

，π，

3π

2

，2π，求出相应的x的值与y的值；
（2）由三角函数的图象与性质周期T=

2 π

ω

=

2 π

1 2

=4π，振幅A=3，初相是-

π

4

．结合图象求出对称轴方程、对称中心的坐标、及单调增区间．
（3）方法一：由图象的变换规则知此函数是由y=sinx的图象经过先右移四个单位再将再所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后再将每个点的纵坐标扩大为原来的三倍而等到的．
方法二：先把y=sinx的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），；再把所得图象上所有的点向右平移

π

2

个单位，最后将y所得到的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），就得到y=3sin（

1

2

x-

π

4

）的图象．

解答：解：（1）如图

（2）由已知，周期T=

2 π

ω

=

2 π

1 2

=4π，振幅A=3，初相是-

π

4

．
由于y=3sin（

1

2

x-

π

4

）是周期函数，通过观察图象可知，所有与x轴垂直并且通过图象的最值点的直线都是此函数的对称轴，即令

1

2

x-

π

4

=

π

2

+kπ，解得直线方程为x=

3 π

2

+2kπ，k∈Z；
所有图象与x轴的交点都是函数的对称中心，所以对称中心为点（

π

2

+2kπ，0），k∈Z；
x前的系数为正数，所以把

1

2

x-

π

4

视为一个整体，令-

π

2

+2kπ≤

1

2

x-

π

4

≤

π

2

+2kπ，
解得[-

π

2

+4kπ，

3 π

2

+4kπ]，k∈Z为此函数的单调递增区间．
（3）方法一：“先平移，后伸缩”．
先把y=sinx的图象上所有的点向右平移

π

4

个单位，得到y=sin（x-

π

4

）的图象；再把y=sin（x-

π

4

）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到y=sin（

1

2

x-

π

4

）的图象；最后将y=sin（

1

2

x-

π

4

）的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），就得到y=3sin（

1

2

x-

π

4

）的图象．
方法二：“先伸缩，后平移”．
先把y=sinx的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到y=sin（

1

2

x）的图象；再把y=sin（x）图象上所有的点向右平移

π

2

个单位，得到y=sin

1

2

（x-

π

2

）=sin（

x

2

-

π

4

）的图象；最后将y=sin（

1

2

x-

π

4

）的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），就得到y=3sin（

1

2

x-

π

4

）的图象．

点评：考查三角函数的图象与性质，本题全面地考查了三角函数图象的画法，函数图象的平移，函数图象的对称性与图象的上升与下降趋势．涉及知识点较多，综合性较强．