Question

如图，侧棱垂直底面的三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AC，AA₁+AB+AC=3，AB=AC=t（t＞0），P是侧棱AA₁上的动点．
（Ⅰ）当AA₁=AB=AC时，求证：A₁C⊥平面ABC₁；
（Ⅱ）试求三棱锥P-BCC₁的体积V取得最大值时的t值；
（Ⅲ）若二面角A-BC₁-C的平面角的余弦值为，试求实数t的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）证法一：利用线面垂直的判定证明，即证AC₁⊥A₁C，AB⊥AC₁；
证法二：建立空间直角坐标系，证明；
证法三：建立空间直角坐标系，求出平面ABC₁的法向量，利用，证明A₁C⊥平面ABC₁；
（Ⅱ）先判断P到平面BB₁C₁C的距离等于点A到平面BB₁C₁C的距离，利用等体积转化，求出三棱锥P-BCC₁的体积，利用导数的方法，求最大值；
（Ⅲ）建立空间直角坐标系，求出平面ABC₁的法向量，平面BCC₁的法向量，利用向量的夹角公式及二面角A-BC₁-C的平面角的余弦值为，可求实数t的值．
解答：（Ⅰ）证法一：∵AA₁⊥面ABC，∴AA₁⊥AC，AA₁⊥AB．
又∵AA₁=AC，∴四边形AA₁C₁C是正方形，
∴AC₁⊥A₁C．…（1分）
∵AB⊥AC，AB⊥AA₁，AA₁，AC?平面AA₁C₁C，AA₁∩AC=A，
∴AB⊥平面AA₁C₁C．…（2分）
又∵AC₁?平面AA₁C₁C，∴AB⊥AC₁．…（3分）
∵AB，AC₁?平面ABC₁，AB∩AC₁=A，
∴A₁C⊥平面ABC₁．…（4分）
证法二：∵AA₁⊥面ABC，∴AA₁⊥AC，AA₁⊥AB．
又∵AB⊥AC，∴分别以AB，AC，AA₁所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．…（1分）

则A（0，0，0），C₁（0，1，1），B（1，0，0），C（0，1，0），A₁（0，0，1），
∴，
∴，…（2分）
∴．…（3分）
又∵AB，AC₁?平面ABC₁，AB∩AC₁=A∴A₁C⊥平面ABC₁．…（4分）
证法三：∵AA₁⊥面ABC，∴AA₁⊥AC，AA₁⊥AB．
又∵AB⊥AC，
∴分别以AB，AC，AA₁所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．…（1分）

则A（0，0，0），C₁（0，1，1），B（1，0，0），C（0，1，0），A₁（0，0，1），
∴．
设平面ABC₁的法向量，
则，解得．
令z=1，则，…（3分）
∵，∴A₁C⊥平面ABC₁．…（4分）
（Ⅱ）解：∵AA₁∥平面BB₁C₁C，∴点P到平面BB₁C₁C的距离等于点A到平面BB₁C₁C的距离
∴，…（5分）
∴V'=-t（t-1），令V'=0，得t=0（舍去）或t=1，
列表，得

	（0，1）	1
V'	+		-
V	递增	极大值	递减

∴当t=1时，．…（8分）
（Ⅲ）解：分别以AB，AC，AA₁所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．
则A（0，0，0），C₁（0，t，3-2t），B（t，0，0），C（0，t，0），A₁（0，0，3-2t），
∴，，．…（9分）

设平面ABC₁的法向量，
则，解得，
令z₁=t，则．…（10分）
设平面BCC₁的法向量，则．
由于，所以解得．
令y₂=1，则．…（11分）
设二面角A-BC₁-C的平面角为θ，则有．
化简得5t²-16t+12=0，解得t=2（舍去）或．
所以当时，二面角A-BC₁-C的平面角的余弦值为．…（13分）
点评：本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力及运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想及应用意识．