Question

如图，侧棱垂直底面的三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面ABC位于平行四边形ACDE中，AE=2，AC=AA₁=4，∠E=60°，点B为DE中点．
（Ⅰ）求证：平面A₁BC⊥平面A₁ABB₁．
（Ⅱ）求二面角A-A₁C-B的大小．

Answer 1

分析：（1）先证AB⊥BC，再由直三棱柱的定义证明AA₁⊥BC，从而得到直线垂直于平面，根据面与面垂直的判定定理得到结论．
（2）建立坐标系，写出要用的点的坐标，在两个平面上，各自写出两个向量，设出平面的法向量．根据向量垂直的充要条件，得到平面的法向量，根据法向量之间角的关系得到结果．

解答：解：（Ⅰ）法一、在平行四边形ACDE中，
∵AE=2，AC=4，∠E=60°，点B为DE中点．
∴∠ABE=60°，∠CBD=30°，
从而∠ABC=90°，即AB⊥BC．
又AA₁⊥面ABC，BC?面ABC
∴AA₁⊥BC，而AA₁∩AB=A，
∴⊥平面A₁ABC₁．
∵BC?平面A₁BC
∴平面A₁BC⊥平面A₁ABB₁
（Ⅱ）由题意知建立坐标系，以A为原点，AC所在的直线为y轴，AA1为z轴建立坐标系，
A（0，0，0），C（0，4，0），A₁（0，0，4），B（

3

，1，0）
设出两个平面的法向量分别是

m

=（x，y，z），

n

（a，b，c）
∵

m

•

AA1

=0，

m

•

AC

=0，

n

•

CB

=0，

n

•

A1C

=0，
∴

m

=（1，0，0），

n

=（

3

，1，1），
∴cosθ=

3

5

=

15

5

∴二面角A-A₁C-B的大小为arccos

15

5

点评：这是一个典型的立体几何题目，是高考题中常出现的问题，有边角关系的证明，有用空间向量求解关于面面角的问题，解题时主要在建立坐标系，写出点的坐标，用向量法解题．