题目内容

（2013•湖南）已知a，b，c∈R，a+2b+3c=6，则a2+4b2+9c2的最小值为
12
12
．
分析：根据柯西不等式，得（a+2b+3c）2=（1×a+1×2b+1×3c）2≤（12+12+12）（a2+4b2+9c2）=3（a2+4b2+9c2），化简得a2+4b2+9c2≥12，由此可得当且仅当a=2，b=1，c=
2
3
时，a2+4b2+9c2的最小值为12．
解答：解：∵a+2b+3c=6，
∴根据柯西不等式，得（a+2b+3c）2=（1×a+1×2b+1×3c）2≤（12+12+12）[a2+（2b）2+（3c）2]
化简得62≤3（a2+4b2+9c2），即36≤3（a2+4b2+9c2）
∴a2+4b2+9c2≥12，
当且仅当a：2b：3c=1：1：1时，即a=2，b=1，c=
2
3
时等号成立
由此可得：当且仅当a=2，b=1，c=
2
3
时，a2+4b2+9c2的最小值为12
故答案为：12
点评：本题给出等式a+2b+3c=6，求式子a2+4b2+9c2的最小值．着重考查了运用柯西不等式求最值与柯西不等式的等号成立的条件等知识，属于中档题．
练习册系列答案
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π
6
)+cos(x-
π
3
)，g(x)=2sin2
x
2
．
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3
3
5
，求g（α）的值；
（II）求使f（x）≥g（x）成立的x的取值集合．
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{6，8}
{6，8}
．
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1
2
，则
AD
AB
=（　　）
（2013•湖南）已知
a
，
b
是单位向量，
a
•
b
=0．若向量
c
满足|
c
-
a
-
b
|=1，则|
c
|的最大值为（　　）

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