Question

（本小题满分12分）已知椭圆经过点，一个焦点是．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设椭圆与轴的两个交点为、，点在直线上，直线、分别与椭圆交于、两点．试问：当点在直线上运动时，直线是否恒经过定点？证明你的结论．

Answer 1

（本小题满分12分）
解：（I）方法1：椭圆的一个焦点是 ，
∴，             ………………（2分）
∵，∴，∴椭圆方程为       ………………（4分）
方法2：，可设椭圆方程为         ………………（2分）
∵在椭圆上，所以（舍去）
∴椭圆方程为                          ………………（4分）
（II）

方法1：当点在轴上时，、分别与、重合，
若直线通过定点，则必在轴上，设，………………（6分）
当点不在轴上时，设，、，，
直线方程，方程，
代入得，
解得，，
∴，              ……………（8分）
代入得
解得，，
∴，               ………………（10分）
∵，
∴，
∴，，
∴当点在直线上运动时，直线恒经过定点．……………（12分）
方法2：直线恒经过定点，证明如下：
当斜率不存在时，直线即轴，通过点，……………（6分）
当点不在轴上时，设，、，，
直线方程，方程，
代入得，
得，，∴，……………（8分）
代入得
得，，…………（10分）
∴，直线恒经过定点．        ………………（12分）
方法3：∵、、三点共线，、、三点也共线，
∴是直线与直线的交点，
当斜率存在时，设：，代入，
得，，，
直线方程，直线方程，
分别代入，得，，
∴，即，
，
∴对任意变化的都成立，只能，
∴直线，通过点
当斜率不存在时，直线即轴，通过点，……………（10分）
∴当点在直线上运动时，直线恒经过定点．

略