Question

（本小题满分15分）
已知函数.
(Ⅰ) 若曲线在点处的切线与曲线有且只有一个公共点，求 的值；
(Ⅱ) 求证：函数存在单调递减区间，并求出单调递减区间的长度 的取值范围.

Answer 1

（Ⅰ）.（Ⅱ）以函数的递减区间长度的取值范围是.

本试题主要考查了导数在研究函数中 的运用。
（1）先求解函数的定义域为，函数导数
所以曲线在点处的切线方程为：
因为切线与曲线有唯一的公共点，
所以方程有且只有一个实数解，显然是方程的一个解.
构造函数令，则
对参数m讨论得到结论。
（2））因为.
因为且对称轴为，
，
所以方程在内有两个不同实根，
结合韦达定理得到结论。
解：（Ⅰ）函数的定义域为，
所以曲线在点处的切线方程为：
因为切线与曲线有唯一的公共点，
所以方程有且只有一个实数解，显然是方程的一个解.
令，则
①当时，，
所以在上单调递增，即是方程唯一实数解.
②当时，由得，，
在区间上，；在区间上，；
所以函数在处有极大值，且；
而当，因此在内也有一个解.
即当时，不合题目的条件.
综上讨论得.……………………………………………………………………………8分
（Ⅱ）.
因为且对称轴为，
，
所以方程在内有两个不同实根，
即的解集为，
所以函数的单调递减区间为.

由于，所以，
所以函数的递减区间长度的取值范围是.……………………15分