Question

【题目】如图，在四棱锥中，，，，，、分为、的中点，．

（）求证：平面平面．

（）若，求四面体的体积．

（）设，若平面与平面所成锐二面角，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）；（3）

【解析】

（1）由题目给出的条件，可得四边形ABFD为矩形，说明AB⊥BF，再证明AB⊥EF，由线面垂直的判定可得AB⊥面BEF，再根据面面垂直的判定得到平面ABE⊥平面BEF；

（2）明确锥体的高为，即可得到几何体的体积；

（3）以A点为坐标原点，AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建立空间坐标系，利用平面法向量所成交与二面角的关系求出二面角的余弦值，根据给出的二面角的范围得其余弦值的范围，最后求解不等式可得a的取值范围．

（）证明：∵，，，为的中点，

∴为矩形，，

又∵，是中点，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴平面，

又平面，

∴平面平面．

（）∵平面，，

∴平面，

∵，

∴中，，，，

∴的面积，

∴四面体的体积．

（）∵，

∴，

又，，

∴，

又，

∴平面，

∴，

如图，以所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，

则，，，，，

∴，，

平面的法向量，

设平面的法向量为，

则，即，取，得，，

则，

∴，

∵平面与平面所成锐二面角，

∴，即，

由，得：，由得：或，

∴的取值范围是．