Question

【题目】若函数是上的单调减函数，已知，,且在定义域内恒成立，则实数的取值范围为______.

Answer 1

【答案】或

【解析】

先由函数单调递减得到m的值，将函数g（x）初步简化，然后针对函数h（x）中的参数n分类讨论，目的是为了将不等式简化，以便于能利用导数工具求解．

由函数f（x）=﹣4x3﹣mx2+（3﹣m）x+1是R上的单调减函数，

则可知f'（x）=﹣12x2﹣2mx+3﹣m≤0在R上恒成立，

△=4m2﹣4×（﹣12）×（3﹣m）=4（m﹣6）2≤0，故m=6，

则函数g（x）=lnx﹣2nx，由题可知在定义域（0，+∞）内恒成立，

①当n≥0时，函数恒成立，故原不等式可转化为g（x）=lnx﹣2nx≤0恒成立，

，

令g'（x）=0，解得，

则在上，g'（x）＞0，g（x）单调递增，

在上，g'（x）＜0，g（x）单调递减，

则，

则ln2n≥﹣1=lne﹣1，即

满足前提n≥0，故

②当n＜0时，令，解得，

则当时，，g（x）h（x）≤0恒成立

可转化为g（x）=lnx﹣2nx≤0恒成立，

，则g（x）在（0，+∞）上单调递增，

故在上也单调递增，

则，解得n≤﹣e2；

当时，，g（x）h（x）≤0恒成立

可转化为g（x）=lnx﹣2nx≥0恒成立，

由上可知，g（x）在上单调递增，

故，解得n≥﹣e2，即﹣e2≤n＜0；

要使得两种情形下都能恒成立，则取其交集得到，n=﹣e2，

综上所述，可得要使得g（x）h（x）≤0在定义域内恒成立，

则实数n的取值范围为．

故答案为：或