Question

已知两条直线l₁：y=m 和l₂：y=

8

2m+1

（m＞0），直线l₁与函数y=|log₂x|的图象从左至右相交于点A，B，直线l₂与函数y=|log₂x|的图象从左至右相交于C，D．记线段AC和BD在X轴上的投影长度分别为a 和b．当m变化时，

b

a

的最小值为______．

Answer 1

设A，B，C，D各点的横坐标分别为x_A，x_B，x_C，x_D，
则-log₂x_A=m，log₂x_B=m；-log₂x_C=

8

2m+1

，log₂x_D=

8

2m+1

；
∴x_A=2^-m，x_B=2^m，x_C=2-

8

2m+1

，x_D=2

8

2m+1

．
∴a=|x_A-x_C|，b=|x_B-x_D|，
∴

b

a

=

2m-2 8 2m+1

2-m-2- 8 2m+1

=2^m•2

8

2m+1

=2m+

8

2m+1

又m＞0，∴m+

8

2m+1

=

1

2

（2m+1）+

8

2m+1

-

1

2

≥2

1 2 ×8

-

1

2

=

7

2

，
当且仅当

1

2

(2m+1)=

8

2m+1

，即m=

3

2

时取“=”号，
∴

b

a

≥2

7

2

=8

2

，
故答案为：8

2

．