Question

（2012•湖南）已知两条直线l₁：y=m 和 l₂：y=

8

2m+1

（m＞0），l₁与函数y=|log₂x|的图象从左至右相交于点A，B，l₂ 与函数y=|log₂x|的图象从左至右相交于点C，D．记线段AC和BD在X轴上的投影长度分别为a，b，当m变化时，

b

a

的最小值为（　　）

• A．16

  2

• B．8

  2

• C．8

  3	4

• D．4

  3	4

Answer 1

分析：设A，B，C，D各点的横坐标分别为x_A，x_B，x_C，x_D，依题意可求得为x_A，x_B，x_C，x_D的值，a=|x_A-x_C|，b=|x_B-x_D|，利用基本不等式可求得当m变化时，

b

a

的最小值．

解答：解：设A，B，C，D各点的横坐标分别为x_A，x_B，x_C，x_D，
则-log₂x_A=m，log₂x_B=m；-log₂x_C=

8

2m+1

，log₂x_D=

8

2m+1

；
∴x_A=2^-m，x_B=2^m，x_C=2-

8

2m+1

，x_D=2

8

2m+1

．
∴a=|x_A-x_C|，b=|x_B-x_D|，
∴

b

a

=

|xB-xD|

|xA-xC|

=|

2m-2 8 2m+1

2-m-2- 8 2m+1

|=2^m•2

8

2m+1

=2m+

8

2m+1

．
又m＞0，∴m+

8

2m+1

=

1

2

（2m+1）+

8

2m+1

-

1

2

≥2

1 2 ×8

-

1

2

=

7

2

（当且仅当m=

3

2

时取“=”）
∴

b

a

≥2

7

2

=8

2

．
故选B．

点评：本题考查对数函数图象与性质的综合应用，理解平行投影的概念，得到

b

a

=

|xB-xD|

|xA-xC|

是关键，考查转化与数形结合的思想，考查分析与运算能力，属于难题．