Question

【题目】椭圆：的左焦点为且离心率为，为椭圆上任意一点，的取值范围为，.

（1）求椭圆的方程；

（2）如图，设圆是圆心在椭圆上且半径为的动圆，过原点作圆的两条切线，分别交椭圆于，两点.是否存在使得直线与直线的斜率之积为定值？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）时，直线与直线的斜率之积为定值.

【解析】

（1）利用离心率得到的关系；然后表示出，通过的范围得到，由得到，从而求得方程；（2）假设圆的方程，利用直线与圆相切，得到关于的方程，从而得到的表达式，从而得到当时，为定值，求得结果.

（1）椭圆的离心率

椭圆的方程可写为

设椭圆上任意一点的坐标为

则

，

，，

椭圆的方程为

（2）设圆的圆心为，则圆的方程为

设过原点的圆的切线方程为：，则有

整理有

由题意知该方程有两个不等实根，设为，

则

当时，

当圆的半径时，直线与直线的斜率之积为定值