题目内容

在△ABC中，AC=10，过顶点C作AB的垂线，垂足为D，AD=5，且满足
AD
=
5
11
DB
．
（1）求|
AB
-
AC
|；
（2）存在实数t≥1，使得向量x=
AB
+t
AC
 ， y=t
AB
+
AC
，令k=x•y，求k的最小值．
分析：（1）将向量问题转化为边的长度，然后利用勾股定理，即可求解；
（2）先求cosA，再利用向量的数量积公式进行化简，得到二次函数，从而可求最小值．
解答：解：（1）∵AD=5，且满足
AD
=
5
11
DB
．
∴A，B，D三点共线，且DB=11
在Rt△ADC中，CD2=AC2-AD2=75，
在Rt△BDC中，BC2=DB2+CD2=196，∴BC=14
∴|
AB
-
AC
|=|
CB
|=14；
（2）由（1），利用余弦定理，可得cosA=
256+100-196
2•16•10
=
1
2

∵
x
=
AB
+t
AC
 ， 
y
=t
AB
+
AC

∴k=
x
•
y
=t|
AB
|2+(t2+1)
AC
•
AB
+t|
AC
|2=80t2+356t+80
∵t≥1，
∴t=1时，k取得最小值为516．
点评：本题考查向量知识，考查向量的数量积公式，考查二次函数的最值，正确运用向量的数量积公式是关键．
练习册系列答案
相关题目
精英家教网如图，在△ABC中，AC=2，BC=1，cosC=
34
．
（1）求AB的值；
（2）求sin（2A+C）的值．
在△ABC中，AC=
3
，∠A=45°，∠C=75°，则BC的长度是
 
．
精英家教网如图，在△ABC中，AC=BC，AB=2，O为AB的中点，沿OC将△AOC折起到△A′OC的位置，使得直线A′B与平面ABC成30°角．
（1）若点A′到直线BC的距离为l，求二面角A′-BC-A的大小；
（2）若∠A′CB+∠OCB=π，求BC边的长．
在△ABC中，AC=2，BC=1，sinC=
35
，则AB的长为
 
．
对于平面直角坐标系内的任意两点A（x1，y1），B（x2，y2），A（x1，y1），B（x2，y2）定义它们之间的一种“距离”：||AB||=|x2-x1|+|y2-y1|．给出下列三个命题：
①若点C在线段AB上，则||AC||+||CB||=||AB||；
②在△ABC中，||AC||+||CB||＞||AB||；
③在△ABC中，若∠A=90°，则||AB||2+||AC||2=||BC||2．
其中错误的个数为（　　）
A、0B、1C、2D、3

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