Question

设x=4是函数f（x）=（x²+ax+b）e^4-x（x∈R）的一个极值点；
（I）求a与b的关系式（用a表示b），并求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）设a＞0，g（x）=，若存在ξ₁，ξ₂∈[0，5]使得|f（ξ₁）-g（ξ₂）|＜4成立，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（I）由题意可得f′（4）=0，即可用a表示b，通过对a分类讨论，解出f′（x）＞0，f′（x）＜0即可；
（II）利用（I）的结论即可得出函数f（x）的值域，利用函数g（x）的单调性即可得出值域，可得值域的交集=[m，n]．由存在ξ₁，ξ₂∈[0，5]使得|f（ξ₁）-g（ξ₂）|＜4成立?|m-n|＜4，解出即可．
解答：解：（I）∵f'（x）=（2x+a-x²-ax-b）e^4-x=-[x²+（a-2）x+b-a]e^4-x
由f'（4）=0，得16+（a-2）4+b-a=0
即b=-3a-8，

=-（x-4）（x+a+2）e^4-x

在[-a-2，+∞）上为减函数．

在[4，+∞）上为减函数．
（II）当a＞0时，-a-2＜0，
∴f（x）在[0，4]上为增函数，在[4，5]上为减函数，

∴f（0）＜f（5），
f（4）=16+4a-3a-8=a+8，

∴，
∵，
若存在ξ₁，ξ₂∈[0，5]使得|f（ξ₁）-g（ξ₂）|＜4成立．
只要，

故．
点评：熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值与最值、等价转化等是解题的关键．