Question

（2008•临沂二模）设x=4是函数f（x）=（x²+ax+b）e^4-x（x∈R）的一个极值点；
（I）求a与b的关系式（用a表示b），并求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）设a＞0，g（x）=(a2+

33

4

)2x，若存在ξ₁，ξ₂∈[0，5]使得|f（ξ₁）-g（ξ₂）|＜4成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（I）由题意可得f′（4）=0，即可用a表示b，通过对a分类讨论，解出f′（x）＞0，f′（x）＜0即可；
（II）利用（I）的结论即可得出函数f（x）的值域，利用函数g（x）的单调性即可得出值域，可得值域的交集=[m，n]．由存在ξ₁，ξ₂∈[0，5]使得|f（ξ₁）-g（ξ₂）|＜4成立?|m-n|＜4，解出即可．

解答：解：（I）∵f'（x）=（2x+a-x²-ax-b）e^4-x=-[x²+（a-2）x+b-a]e^4-x
由f'（4）=0，得16+（a-2）4+b-a=0
即b=-3a-8，

∴f(x)=(x2+ax-3a-8)e4-x f′(x)=-[x2+(a-2)x-4a-8]

=-（x-4）（x+a+2）e^4-x

令f′(x)=0，得x1=4，x2=-a-2 ∵x=4是f(x)的极值点，故x1≠x2， 即a≠-6 当a＜-6时，x1＜x2， 故f(x)在(-∞，4]上为减函数，在[4，-a-2]上为增函数，

在[-a-2，+∞）上为减函数．

当a＞-6时，x1＞x2 故f(x)在(-∞，-a-2]上为减函数，在[-a-2，4]上为增函数

在[4，+∞）上为减函数．
（II）当a＞0时，-a-2＜0，
∴f（x）在[0，4]上为增函数，在[4，5]上为减函数，

∵f(0)=be4=-(3a+8)e4＜0 f(5)=(25+5a-3a-8)e-1=(2a+17)e-1＞0

∴f（0）＜f（5），
f（4）=16+4a-3a-8=a+8，

∴f(x)在[0，5]上的值域是[-(3a+8)e4，a+8] 而g(x)=(a2+ 33 4 )2x在[0，5]上为增函数

∴值域为[a2+

33

4

，(a2+

33

4

)25]，
∵(a2+

33

4

)-(a+8)=(a-

1

2

)2≥0，
若存在ξ₁，ξ₂∈[0，5]使得|f（ξ₁）-g（ξ₂）|＜4成立．
只要(a2+

33

4

)-(a+8)＜4，

即(a- 1 2 )2＜4 又a＞0∴0＜a＜ 5 2

故a的取值范围是(0，

5

2

)．

点评：熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值与最值、等价转化等是解题的关键．