Question

设x=3是函数f（x）=（ax-2）e^x的一个极值点．
（I）求实数a的值；
（II）证明：对于任意x₁，x₂∈[2，4]，都有f（x₁）-f（x₂）≤

1

2

e3．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由f′（3）=0解出a值，再验证在x=3左右导数变号．
（II）证明对于任意x₁，x₂∈[2，4]，都有f（x₁）-f（x₂）≤

1

2

e3可转化为证明fmax(x)-fmin(x)≤

1

2

e3．

解答：（Ⅰ）解：f′（x）=（ax+a-2）e^x．由f′（3）=0得a=

1

2

．
当a=

1

2

时，f′（x）=

1

2

（x-3）e^x在x=3处的左右异号，所以f（x）在x=3处取得极值，
故a=

1

2

．
（Ⅱ）证明：f（x）=

1

2

（x-4）e^x，f′（x）=

1

2

（x-3）e^x．当x∈[2，3]时，f′（x）≤0，f（x）在区间[2，3]上单调递减；
当x∈（3，4]时，f′（x）＞0，f（x）在区间（3，4]上单调递增．所以在区间[2，4]上fmin(x)=f(3)=-

1

2

e3．
又f（2）=-e²，f（4）=0，所以在区间[2，4]上f_max（x）=f（4）=0．
对于任意x₁，x₂∈[2，4]，都有f（x₁）-f（x₂）≤f_max（x）-f_min（x）=

1

2

e3．
即f(x1)-f(x2)≤

1

2

e3．

点评：本题考查了应用导数研究函数极值及不等式恒成立问题，注意f′（x₀）=0是可导函数f（x）在x=x₀处取得极值的必要不充分条件，认真体会转化思想在本题中应用．