Question

已知0＜β＜

π

2

＜α＜π且cos（α-

β

2

）=-

1

9

，sin(

α

2

-β)=

2

3

求cos（α+β）的值．

Answer 1

分析：根据α与β的范围求出α-

β

2

与

α

2

-β的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sin（α-

β

2

）与cos（

α

2

-β）的值，由cos[（α-

β

2

）-（

α

2

-β）]，利用两角和与差的余弦函数公式化简，将各自的值代入求出cos

α+β

2

的值，所求式子利用二倍角的余弦函数公式化简，将求出cos

α+β

2

的值代入即可求出值．

解答：解：∵0＜β＜

π

2

＜α＜π，cos（α-

β

2

）=-

1

9

，sin（

α

2

-β）=

2

3

，
∴

π

2

＜α-

β

2

＜π，0＜

α

2

-β＜

π

4

，
∴sin（α-

β

2

）=

1-(- 1 9 )2

=

4 5

9

，cos（

α

2

-β）=

1-( 2 3 )2

=

5

3

，
∴cos

α+β

2

=cos[（α-

β

2

）-（

α

2

-β）]
=cos（α-

β

2

）cos（

α

2

-β）+sin（α-

β

2

）sin（

α

2

-β）
=-

1

9

×

5

3

+

2

3

×

4 5

9

=

7 5

27

，
则cos（α+β）=2cos²

α+β

2

-1=-

239

729

．

点评：此题考查了两角和与差的余弦函数公式，二倍角的余弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键．