题目内容
【题目】
已知椭圆
的离心率为
，且点
在椭圆
上．
（Ⅰ）求椭圆
的标准方程；
（Ⅱ）若斜率为k的直线
交椭圆
于A，B两点，求△OAB面积的最大值．
【答案】（Ⅰ）
；（Ⅱ）4．
【解析】试题分析：（Ⅰ）根据题意列出关于
、
、
的方程组，结合性质
， 
，求出
、
、
，即可得结果；（Ⅱ）直线l的方程为y＝kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线与曲线联立，以△OAB的面积S＝
|m||x1－x2|根据韦达定理，弦长公式将三角形面积用
， 
表示，换元求最值即可得结果.
试题解析：（Ⅰ）由已知得
， 
， 解得
， 
，
椭圆
的方程是
.
（Ⅱ）设直线l的方程为y＝kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2).
将y＝kx＋m代入椭圆
的方程，可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－16＝0，
由Δ＞0，可得m2＜4＋16k2，①
则有x1＋x2＝－
，x1x2＝
.
所以|x1－x2|＝
.
因为直线y＝kx＋m与y轴交点的坐标为(0，m)，
所以△OAB的面积S＝
|m||x1－x2|
＝
＝
＝
设
＝t，由①可知0＜t＜4，
因此S＝2
＝2
，故S≤4，
当且仅当t＝2时取得最大值4.
所以△OAB面积的最大值为4.
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