Question

等腰梯形ABCD，AB∥CD，DE⊥AB，CF⊥AB，AE=2，沿DE，CF将梯形折叠使A，B重合于A点（如图），G为AC上一点，FG⊥平面ACE．

（Ⅰ）求证：AE⊥AF；
（Ⅱ）求DG与平面ACE所成角的正弦值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,空间中直线与直线之间的位置关系

专题：空间位置关系与距离

分析：（I）由FG⊥平面ACE，可得FG⊥AE，由CF⊥AF，CF⊥EF，可得CF⊥平面AEF，可得CF⊥AE，AE⊥平面ACF，即可证明；
（II）如图所示，建立空间直角坐标系．则E（0，0，0），A(

2

，

2

，0)，C(0，2

2

，2)，D（0，0，2），G(

2

2

，

3 2

2

，1)．设平面EAC的法向量为

n

=（x，y，z），则

n • EA =0 n • EC =0

，设DG与平面ACE所成角为θ，利用sinθ=|cos＜

n

，

EG

＞|=

| n • EG |

| n || EG |

即可得出．

解答： （I）证明：∵FG⊥平面ACE，∴FG⊥AE，
∵CF⊥AF，CF⊥EF，AF∩EF=F，
∴CF⊥平面AEF，
∴CF⊥AE，又FG∩CF=F，
∴AE⊥平面ACF，
∴AE⊥AF；
（II）解：如图所示，建立空间直角坐标系．
则E（0，0，0），A(

2

，

2

，0)，C(0，2

2

，2)，D（0，0，2），
利用三角形中位线定理与等腰直角三角形的性质可得：G(

2

2

，

3 2

2

，1)．
∴

DG

=(

2

2

，

3 2

2

，-1)，

EA

=(

2

，

2

，0)，

EC

=(0，2

2

，2)．
设平面EAC的法向量为

n

=（x，y，z），则

n • EA = 2 x+ 2 y=0 n • EC =2 2 y+2z=0

，
令y=-1，解得x=1，z=

2

．
∴

n

=(1，-1，

2

)．
设DG与平面ACE所成角为θ．
则sinθ=|cos＜

n

，

EG

＞|=

| n • EG |

| n || EG |

=

2 2

2 6

=

3

3

．

点评：本题考查了空间线面面面位置关系的判定及其性质、空间角的求法、等腰直角三角形的性质、三角形的中位线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．