Question

若函数
（1）若f（x）在[1，+∞）上为增函数，求m的范围．
（2）当m=1时，若a＞b＞1，比较f（a^ab^b4^a）与f[（a+b）^a+b]的大小，并说明理由．
（3）当m=1时，设{a_n}为正项数列，且n≥2时[f′（a_n）•f′（a_n-1）+]•a_n²=q，（其中q≥2010），a_n的前n项和为S_n，，若b_n≥2011n恒成立，求q的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由f（x）=，知=，x＞0．由f（x）在[1，+∞）上为增函数，知x∈[1，+∞）时，恒成立．由此能导出m的范围．
（2）当m=1时，，x∈[1，+∞）时，，f（x）在[1，+∞）上单调递增，要比较f（a^ab^a4^a）与f[（a+b）^a+b]的大小，即比较与的大小．由此能推导出f（a^ab^b4^a）＞f[（a+b）^a+b]．
（3）当m=1时，，且，所以，由恒成立，q≥2010时，数列为单调递减数列，能够推导出若b_n≥2011n恒成立，求q的最小值．
解答：解：（1）∵f（x）=，
∴
=，x＞0．
∵f（x）在[1，+∞）上为增函数，
∴在[1，+∞）上恒大于或等于0，
即：x∈[1，+∞）时，恒成立．
又∵m∈R⁺，即：mx-1≥0恒成立．即：恒成立．
∴m的范围为：[1，+∞）．…（4分）
（2）当m=1时，，x∈[1，+∞）时，，
∴f（x）在[1，+∞）上单调递增，
要比较f（a^ab^a4^a）与f[（a+b）^a+b]的大小，
∵a^ab^b4^a＞1，且（a+b）^a+b＞1，
即比较a^ab^b4^a与（a+b）^a+b的大小．
即比较与的大小．
∴-
=alog₂a+blog₂b+2a-（a+b）log₂（a+b）
=alog₂a+2a-alog₂（a+b）-blog₂（a+b）+blog₂b，
设g（x）=xlog₂x+2x-xlog₂（x+b）+blog₂b，x∈（b，+∞），
-
=log₂x+2-log₂（x+b）
=．
∵x＞b，
∴g′（x）＞0，∴g（x）在（b，+∞）单调递增．
且a＞b，
∴g（a）＞g（b），
即：alog₂a+2a-alog₂（a+b）-blog₂（a+b）+blog₂b＞0，
∴，
∴f（a^ab^b4^a）＞f[（a+b）^a+b]．
（3）当m=1时，，
且，
∴，
∴，
∴．
由：=，q≥2010，
∵b_n≥2011n恒成立，
即：恒成立，
显然，q≥2010时，数列为单调递减数列，
且，
当q≥2011时，中的每一项都大于2011，
∴恒成立，
当q∈[2010，2011）时，由 数列为单调递减数列，
且，
说明数列在有限项后必定小于2011，
设，
且数列{M_n}也为单调递减数列，M₁≥0，
根据以上分析：数列中必有一项，
（设为第k项），（其中M_k≥0，且M_k+1＜0），
∵{M_n}为单调递减数列，
∴+…+
=2011n+M₁+M₂+…+M_k+M_k+1+…+M_n
≤2011n+kM₁+M_k+1+…+M_n
≤2011n+kM₁+（n-k）M_k+1，
当n→∞时，kM₁+（n-k）M_k+1＜0，
∴，
∴q∈[2010，2011）时，不满足条件．
综上所得：q_min=2011．…（14分）
点评：本题考查数列与不等式的综合应用，对数学思维的要求比较高，要求学生理解“存在”、“恒成立”，以及运用一般与特殊的关系进行否定，本题有一定的探索性．综合性强，难度大，易错点是数列中必有一项，（设为第k项），（其中M_k≥0，且M_k+1＜0）的推导过程．