Question

已知四棱锥P-ABCD的直观图和三视图如图所示，E是PB的中点．
（Ⅰ）若F是BC上任一点，求证：AE⊥PF；
（Ⅱ）设AC，BD交于点O，求直线BO与平面ABC所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）由题意首先应有三视图的到还原后的立体图形应为一侧棱与底面垂直的四棱锥，由题意及图得到线面垂直，进而得到线线垂直，既可以得到证明；
（2）利用空间向量，由题意先建立空间直角坐标系，利用线面角与该直线的方向向量与平面的法向量之间的关系即可得求．

解答：（Ⅰ）证明：由该四棱锥的三视图可知，四棱锥P-ABCD的底面是边长为2和1的矩形，侧棱PA⊥平面ABCD，且PA=2．
∵BC⊥AB，BC⊥PA，AB∩PA=A
∴BC⊥平面PAB．∴BC⊥AE．
又在△PAB中，∵PA=PB，E是PB的中点，
∴AE⊥PB．
∵BC∩PB=B，∴AE⊥平面PBC．
∴AE⊥PF．
（2）以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．则P（0，0，2），B（2，0，0），E（1，0，1），C（2，1，0），0（1，

1

2

，0）．
∴

AE

=(1，0，1)

AC

=(2，1，0)．
设

n

=(x，y，z)，是平面EAC的一个法向量，则由

n • AE =0  n • AC =0

得

(x，y，z)•(1，0，1)=0 (x，y，z)•(2，1，0)=0

即

x+z=0 2x+y=0

取x=1得

n

=(1，-2，-1)．
而

OB

=(1，-

1

2

，0)，∴cos＜

n

，

OB

＞=

n  • OB

| n |  OB

=

2 30

15

．
设直线BO与平面AEC所成角为α，则sinα=

2 30

15

．
∴直线BO与平面AEC所成角的正弦值为

2 30

15

．

点评：（1）此问重点考查了有三视图还原出立体图形，还考查了利用线面垂直证明线线垂直这样的转换证明的方法；
（2）此问重点考查了利用空间向量的方法求解线面角的知识．