题目内容

已知向量a=(sin4πx-cos4πx,2cosπx),b=(1,sinπx),令f(x)=a·b.

(1)求函数f(x)的最小正周期;

(2)若函数y=f(x+φ)的图象关于原点对称,求满足该条件的φ的最小正值.

(1)解:∵f(x)=a·b=(sin4πx-cos4πx,2cosπx)·(1,sinπx)?

=sin4πx-cos4πx+2cosπxsinπx                                                                 

=(sin2πx-cos2πx)(sin2πx+cos2πx)+sin2πx?

=-cos2πx+sin2πx=2sin(2πx-),                                                                  

即f(x)=2sin(2πx-).?

∴T=1.                                                                                                                   

(2)解法一:∵y=f(x+φ)的图象关于原点对称,x∈R,?

∴y=f(x+φ)是奇函数.                                                                                       

则f(0+φ)=0,即sin(2πφ-)=0,                                                                          ?

∴2πφ-=kπ(k∈Z),解得φ=+.?

故φ的最小正值为.                                                                                     ?

解法二:∵y=f(x+φ)的图象关于原点对称,?

∴-y=f(-x+φ),则f(-x+φ)=-f(x+φ).                                                                ?

又∵f(x+φ)=2sin［2π(x+φ)-］,?

∴f(-x+φ)=2sin［2π(-x+φ)-］.?

∴2sin［2π(-x+φ)-］=-2sin［2π(x+φ)-］.?

整理,得sin(2πφ-)cos2πx=0,                                                                           ?

∴当sin(2πφ-)=0时,sin(2πφ-)cos2πx=0对一切实数都成立.?

∴2πφ-=kπ(k∈Z),解得φ=+.?

故φ的最小正值为.


练习册系列答案
相关题目
已知向量
a
=(sinθ，
3
)，
b
=(1，cosθ)，θ∈(-
π
2
，
π
2
)．
（1）若
a
⊥
b
，求θ；
（2）求|
a
+
b
|的最大值．
已知向量
a
=(sin(x-
π
4
)，-1)，
b
=(
2
，2)且f(x)=
a
•
b
+2
（1）求f（x）的表达式．
（2）用“五点作图法”画出函数f（x）在一个周期上的图象．
（3）写出f（x）在[-π，π]上的单调递减区间．
（4）设关于x的方程f（x）=m在x∈[-π，π]上的根为x1，x2且m∈(1，
2
)，求x1+x2的值．
已知向量
a
=(sinθ，-2)，
b
=(1，cosθ)，且
a
⊥
b
，则sin2θ+cos2θ的值为（　　）
已知向量
a
=(sinθ，1)，
b
=(1，cosθ)，θ∈(-
π
2
，
π
2
)．
（1）若
a
⊥
b
，求θ的值；
（2）若已知sinθ+cosθ=
2
sin(θ+
π
4
)，利用此结论求|
a
+
b
|的最大值．
已知向量
a
=(sin(x-
π
4
)，-1)，
b
=(2，2)且f(x)=
a
•
b
+2
①用“五点法”作出函数y=f（x）在长度为一个周期的闭区间的图象．
②求函数f（x）的最小正周期和单调增区间；
③求函数f（x）的最大值，并求出取得最大值时自变量x的取值集合
④函数f（x）的图象可以由函数y=sin2x（x∈R）的图象经过怎样的变换得到？
⑤当x∈[0，π]，求函数y=2sin(x-
π
4
)的值域
解：（1）列表
（2）作图
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