Question

已知抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F，过F作垂直于x轴的直线交此抛物线于A，B两点，且|AB|=4．
（Ⅰ）  求此抛物线的方程；
（Ⅱ）若过点Q（2，0）的直线交抛物线于C，D两点，若存在另一动点G，使得直线GC，GQ，GD的斜率依次成等差数列，试说明动点G一定在定直线上．

Answer 1

分析：（Ⅰ）通过通经长为4，可得，p=2，进而求出抛物线的方程．
（Ⅱ）先设出过点Q（2，0）的直线方程，因为存在另一动点G，使得直线GC，GQ，GD的斜率依次成等差数列，分别求出直线GC，GQ，GD的斜率，再根据直线GC，GQ，GD的斜率依次成等差数列，找出等式，求解．

解答：解：（Ⅰ）∵过F作垂直于x轴的直线交此抛物线于A，B两点，且|AB|=4．∴2p=4，p=2
∴抛物线的方程为y²=4x
（Ⅱ）设C（x₁，y₁），D（X₂，Y₂）
  设过点Q（2，0）的直线方程为x=ky+2，由

y2=4x x=ky+2

得y₁+y₂=4k，y₁y₂=-8
   设G（x₀，y₀），k_GC+k_GD=

y1-y0

x1-x0

+

y2-y0

x2-x0

=

y1-y0

ky1+(2 -x0)

+

y2-y0

ky2+(2 -x0)

=

-16k-4k2y0+4k(2-x0)- 2 (2-x0)y0

-8k2+4k2(2-x0)+ (2-x0)2

①
   k_GQ=2

y0

x0-2

②，
   化简得x₀=-2
   所以动点G一定在定直线x₀=-2上．

点评：本题考查了抛物线与直线的位置关系，计算量较大，应认真对待．