题目内容

试用数学归纳法证明n3＋5n能被6整除(n∈N*)

答案：
解析：

 　　正解：(1)略(2)假设n＝k(k≥1，k∈N*)时k3＋5k能被6整除，则n＝k＋1时

　　正解：(1)略(2)假设n＝k(k≥1，k∈N*)时k3＋5k能被6整除，则n＝k＋1时

　　(k＋1)3＋5(k＋1)＝k3＋5k＋3k2＋3k＋6

　　＝(k3＋5k＋3[k(k＋1)＋2]

　　由假设k3＋5k能被6整除

　　且k(k＋1)为偶数，∴3[k(k＋1)＋2]也能被6整除，即n＝k＋1时，(k＋1)3＋5(k＋1)能被6整除．故n3＋5n能被6整除．


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精英家教网用a，b，c，d四个不同字母组成一个含n+1（n∈N+）个字母的字符串，要求由a开始，相邻两个字母不同．例如n=1时，排出的字符串是ab，ac，ad；n=2时排出的字符串是aba，abc，abd，aca，acb，acd，ada，adb，adc，…，如图所示．记这含n+1个字母的所有字符串中，排在最后一个的字母仍是a的字符串的种数为an．
（1）试用数学归纳法证明：an=
3n+3(-1)n
4
(n∈N*，n≥1)；
（2）现从a，b，c，d四个字母组成的含n+1（n∈N*，n≥2）个字母的所有字符串中随机抽取一个字符串，字符串最后一个的字母恰好是a的概率为P，求证：
2
9
≤P≤
1
3
．
已知：（x+1）n=a0+a1（x-1）+a2（x-1）2+a3（x-1）3+…+an（x-1）n（n≥2，n∈N*）
（1）当n=5时，求a0+a1+a2+a3+a4+a5的值．
（2）设bn=
a2
2n-3
，Tn=b2+b3+b4+…+bn．试用数学归纳法证明：当n≥2时，Tn=
n(n+1)(n-1)
3
．
已知数列{an}为等差数列，且有a3-a6+a10-a12+a15=20，a7=14．
（Ⅰ）求数列{an}的通项an及其前n项和Sn；
（Ⅱ）记数列{
1
S
2
n
}的前n项和为Tn，试用数学归纳法证明对任意n∈N*，都有Tn≤
3
4
-
1
n+1
．
数列{an}是等差数列，数列{bn}满足bn=anan+1an+2（n∈N*），数列{bn}的前n项和为Sn．
（1）若数列{an}的公差d等于首项a1，试用数学归纳法证明：对于任意n∈N*，都有Sn=
b1an+34d
；
（2）若数列{an}满足：3a5=8a12＞0，试问n为何值时，Sn取得最大值？并说明理由．
（2012•黄浦区一模）已知a＜b，且a2-a-6=0，b2-b-6=0，数列{an}、{bn}满足a1=1，a2=-6a，an+1=6an-9an-1(n≥2，n∈N*)，bn=an+1-ban(n∈N*)．
（1）求证数列{bn}是等比数列；
（2）求数列{an}的通项公式an；
（3）若{cn}满足c1=1，c2=5，cn+2=5cn+1-6cn(n∈N*)，试用数学归纳法证明：cn +acn-1=
an3n-2
(n≥2，n∈N*)．

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