Question

已知数列{a_n}为等差数列，且有a₃-a₆+a₁₀-a₁₂+a₁₅=20，a₇=14．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项a_n及其前n项和S_n；
（Ⅱ）记数列{

1

S 2 n

}的前n项和为T_n，试用数学归纳法证明对任意n∈N^*，都有Tn≤

3

4

-

1

n+1

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）因为3+15=6+12，根据等差数列的性质可知a₃+a₁₅=a₆+a₁₂，即可求出a₁₀的值，再根据a₇=14，利用待定系数法求出数列的首项与公差，根据首项与公差写出通项公式及前n项和的公式即可；
（Ⅱ）先根据S_n的通项公式表示出

1

S n 2

=

1

n2(n+1)2

，（1）当n=1时，把n=1代入求值不等式成立；（2）再假设n=k时关系成立，利用通分和约分变形可得n=k+1时关系也成立，综合（1）和（2），得到对于任意n∈N^*时都成立．

解答：解：（Ⅰ）因为{a_n}为等差数列，且3+15=6+12，所以a₃+a₁₅=a₆+a₁₂，得a₁₀=20，
由a₁₀=a₁+9d及a₇=a₁+6d联立解得a₁=2，d=2，
因此得a_n=2n，S_n=n²+n；
（Ⅱ）证明：

1

S 2 n

=

1

n2(n+1)2

，
（1）当n=1时，T1=

1

S 2 1

=

1

12×22

=

1

4

，

3

4

-

1

1+1

=

1

4

关系成立；
（2）假设当n=k时，关系成立，即Tk≤

3

4

-

1

k+1

，
则Tk+1=

1

S 1 2

+

1

S 2 2

+…+

1

S k 2

+

1

S k+1 2

≤

3

4

-

1

k+1

+

1

(k+1)2(k+2)2

=

3

4

-

k3+4k2+4k+k2+4k+3

(k+1)2(k+2)2

＜

3

4

-

k3+2k2+k+2k2+4k+2

(k+1)2(k+2)2

=

3

4

-

(k+1)2(k+2)

(k+1)2(k+2)2

=

3

4

-

1

k+2

=

3

4

-

1

(k+1)+1

，即当n=k+1时关系也成立．
根据（1）和（2）知，关系式Tn≤

3

4

-

1

n+1

对任意n∈N^*都成立．

点评：此题是一道综合题，要求学生掌握等差数列的性质，会利用待定系数法求等差数列的通项公式及前n项的和公式，同时要求学生掌握数学归纳法在证明题中的运用．