题目内容

（2012•黄浦区一模）已知a＜b，且a2-a-6=0，b2-b-6=0，数列{an}、{bn}满足a1=1，a2=-6a，an+1=6an-9an-1(n≥2，n∈N*)，bn=an+1-ban(n∈N*)．
（1）求证数列{bn}是等比数列；
（2）求数列{an}的通项公式an；
（3）若{cn}满足c1=1，c2=5，cn+2=5cn+1-6cn(n∈N*)，试用数学归纳法证明：cn +acn-1=
an3n-2
(n≥2，n∈N*)．
分析：（1）通过已知条件求出a，b利用bn=an+1-ban(n∈N*)，通过等比数列的定义证明数列{bn}是等比数列；
（2）求出数列{bn}的通项公式，然后利用（1）求数列{an}的通项公式an；
（3）若{cn}满足c1=1，c2=5，cn+2=5cn+1-6cn(n∈N*)，直接利用数学归纳法的证明步骤，证明：cn +acn-1=
an
3n-2
(n≥2，n∈N*)．
解答：证明（1）∵a＜b，a2-a-6=0，b2-b-6=0，
∴a=-2，b=3，a2=12．
∵an+1=6an-9an-1(n≥2，n∈N*)，bn=an+1-ban(n∈N*)，
∴bn+1=an+2-3an+1
=6an+1-9an+1-3an+1
=3（an+1-3an）
=3bn （n∈N*）．
又b1=a2-3a1=9，
∴数列{bn}是公比为3，首项为b1的等比数列．
（2）依据（1）可以，得bn=3n+1（n∈N*）．
于是，有an+1-3an=3n+1（n∈N*），即
an+1
3n+1
-
an
3n
=1，（n∈N*）．
因此，数列{
an
3n
}是首项为
a1
31
=
1
3
，公差为1的等差数列．
故
an
3n
=
1
3
+(n-1)•1．
所以数列{an}的通项公式是an=（3n-2）•3n-1（n∈N*）．
（3）用数学归纳法证明：cn +acn-1=
an
3n-2
(n≥2，n∈N*)
（i）当n=2时，左边：cn+acn-1=c2-2c1=3，
右边：
an
3n-2
=
(3×2-2)•32-1
3×2-2
=3，
即左边=右边，所以当n=2时结论成立．
（ii）假设当n=k．（k≥2，k∈N*）时，结论成立，即ck +ack-1=
ak
3k-2
(k≥2，k∈N*)．
当n=k+1时，左边=ck+1+ack
=5ck-6ck-1-2ck
=3（ck-2ck-1）=3•
ak
3k-2
=3k，
右边=
ak+1
3(k+1)-2
=
(3(k+1)-2)•3k
3(k+1)-2
=3k．
即左边=右边，因此，当n=k+1时，结论也成立．
根据（i）、（ii）可以断定，
cn+acn-1=
an
3n-2
对n≥2的正整数都成立．
点评：本题考查数学归纳法，等比关系的确定，数列递推式考查逻辑推理能力，计算能力．
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