Question

抛物线顶点为O，焦点为F，M是抛物线上的动点，则

MO

MF

的最大值为

2 3

3

．

Answer 1

分析：不妨设抛物线方程为：y²=2px（p＞0），焦点F（

p

2

，0），由抛物线的定义可得

|MO|

|MF|

=

|MO|

d

，化简再换元，利用基本不等式求得最大值．

解答：解：不妨设抛物线方程为：y²=2px（p＞0），焦点F（

p

2

，0），
设M（m，n），则n²=2pm，m＞0，设M 到准线x=-

p

2

 的距离等于d，
则

|MO|

|MF|

=

|MO|

d

=

m2+n2

m+ p 2

=

m2+2pm

m+ p 2

=

m2+2pm m2+pm+ p2 4

=

1+ pm- p2 4 m2+pm+ p2 4

．
令 pm-

p2

4

=t，t＞-

p2

4

，则 m=

t

p

+

p

4

∴

|MO|

|MF|

=

1+ t t2 p2 + 3 2 t+ 9 16 p2

=

1+ 1 t p2 + 3 2 + 9p2 16t

≤

1+ 1 3

=

2 3

3

（当且仅当 t=

3

4

p² 时，等号成立）．
故

|MO|

|MF|

的最大值为

2 3

3

，
故答案为

2 3

3

．

点评：本题考查抛物线的定义、基本不等式的应用，考查换元的思想，解题的关键是表达出

|MO|

|MF|

，再利用基本不等式，综合性强．