Question

（2013•杭州二模）如图，已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PA⊥平面ABCD，PA=

3

，AB=1．AD=2．∠BAD=120°，E，F，G，H分别是BC，PB，PC，AD的中点．
（Ⅰ）求证：PH∥平面GED；
（Ⅱ）过点F作平面α，使ED∥平面α，当平面α⊥平面EDG时，设PA与平面α交于点Q，求PQ的长．

Answer 1

分析：（I）连接HC，交ED于点N，连接GN．由平行四边形的性质和三角形的中位线定理即可得到GN∥PH，再利用线面平行的判定定理即可证明；
（II）方法一：通过建立空间直角坐标系，利用平面GED⊥平面α?两个平面的法向量

n1

•

n2

=0，求得Q的坐标，进而取得|PQ|的长．
方法二：连接BH，则BH∥ED，及PB∥GE，可得平面PBH∥平面GED；利用三角形懂得中位线定理可得FM∥BK；利用菱形的性质可得AE⊥BK，再利用线面垂直的判定和性质定理可得BK⊥平面PAK，FM⊥平面PAK；过M作MQ⊥PK，交PA于Q，设MQ与FM所确定的平面为α，可得ED∥BH∥FM，ED∥平面α，又平面α⊥平面PBH，可得平面α⊥平面EDG．得平面α满足条件．利用已知可得PA、AK、PK，再利用

PQ

PK

=

PM

PA

，即可得到PQ．

解答：（Ⅰ）证明：连接HC，交ED于点N，连接GN，
∵DHEC是平行四边形，∴N是线段HC的中点，又G是PC的中点，
∴GN∥PH，
又∵GN?平面GED，PH?平面GED，
∴PH∥平面GED．
（Ⅱ） 方法1：连接AE，∵∠BAD=120°，∴△ABE是等边三角形，
设BE的中点为M，以AM、AD、AP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．
则B（

3

2

，-

1

2

，0），C（

3

2

，

3

2

，0），D（0，2，0），P（0，0，

3

），
则E（

3

2

，

1

2

，0），F（

3

4

，-

1

4

，

3

2

），G（

3

4

，

3

4

，

3

2

）．
设Q（0，0，t），

ED

=(-

3

2

，

3

2

，0)，

DG

=(

3

4

，-

5

4

，

3

2

)．
设

n1

=(x1，y1，z1)是平面GED的一个法向量，
则

n1 • ED =- 3 2 x1+ 3 2 y1=0 n1 • DG = 3 4 x1- 5 4 y1+ 3 2 z1=0

，得

x1= 3 y1 z1= 3 3 y1

，
令y₁=1∴

n1

=(

3

，1，

3

3

)．
设

n2

=(x2，y2，z2)是平面α的一个法向量，
则

n2 • ED =- 3 2 x2+ 3 2 y2=0 n2 • QF = 3 4 x2- 1 4 y2+( 3 2 -t)z2=0

，得

x2= 3 y2 z2= 1 2t- 3 y2

，令y₂=1，得

n2

=(

3

，1，

1

2t- 3

)，
当平面GED⊥平面α时，

n1

•

n2

=3+1+

3

3

•

1

2t- 3

=0，
得t=

11

8 3

=

11 3

24

，则PQ的长为

3

-

11 3

24

=

13 3

24

．
方法2：连接BH，则BH∥ED，又∵PB∥GE，∴平面PBH∥平面GED，
设BH与AE交于点K，PK的中点为M，
∵F是PB的中点，∴FM∥BK，
∵ABEH是菱形，∴AE⊥BK，
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BK，∴BK⊥平面PAK．
∴FM⊥平面PAK，
过M作MQ⊥PK，交PA于Q，设MQ与FM所确定的平面为α，
∵ED∥BH∥FM，∴ED∥平面α，又平面α⊥平面PBH，∴平面α⊥平面EDG．
得平面α满足条件．
∵PA=

3

，AK=

1

2

，∴PK=

3+ 1 4

=

13

2

，
由

PQ

PK

=

PM

PA

，
得PQ=

PK•PM

PA

=

13 2 • 13 4

3

=

13 3

24

．

点评：本题综合考查了线面平行于垂直、面面平行与垂直、建立空间直角坐标系得出二面角的法向量、平行四边形的性质、三角形的中位线定理等基础知识与基本技能，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力．