Question

在数列{a_n}中，a₁=1，当n≥2时，其前n项S_n满足S_n²=a_n(Sn-

1

2

)．
（Ⅰ）求a_n；
（Ⅱ）设b_n=

Sn

2n+1

，求数列{b_n}的前n项和T_n；
（Ⅲ）是否存在自然数m，使得对任意n∈N^*，都有T_n＞

1

4

（m-8）成立？若存在，求出m的最大值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（I）将a_n=S_n-S_n-1代入已知等式，展开变形、化简可得2=

1

Sn

-

1

Sn-1

，证出数列{

1

Sn

}为等差数列，从而，得出S_n的表达式，进而可以求出a_n；
（II）将（I）中的S_n的表达式代入到b_n当中，用裂项相消法可以求出T_n表达式；
（III）用T_n的表达式得出其单调性，将不等式T_n＞

1

4

（m-8）转化为T₁＞

1

4

（m-8），最后可以求出符合题m的最大值．

解答：解：（I）∵S_n²=a_n（S_n-

1

2

）（n≥2）
∴S_n²=（S_n-S_n-1）（S_n-

1

2

）
∴2S_nS_n-1=S_n-1-S_n
∴2=

1

Sn

-

1

Sn-1

…（2分）
又a₁=1，

1

S1

=1
∴数列{

1

Sn

}为首项为1，公差为2的等差数列．…（3分）
∴

1

Sn

=1+（n-1）•2=2n-1
∴S_n=

1

2n-1

．
∴a_n=

1，(n=1) - 2 (2n-1)(2n-3) ，(n≥2)

…（5分）
（II）b_n=

Sn

2n+1

=

1

(2n+1)(2n-1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

）
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-3

-

1

2n-1

)+(

1

2n-1

-

1

2n+1

）]
=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

…（8分）
（III）令T（x）=

x

2x+1

，则T（x）在[1，+∞）上是增函数
∴当n=1时T_n=

n

2n+1

(n∈N*)取得最小值．T1=

1

3

…（10分）
由题意可知，要使得对任意n∈N^*，都有T_n＞

1

4

（m-8）成立，
只要T₁＞

1

4

（m-8）即可．
∴

1

3

＞

1

4

（m-8），解之得m＜

28

3

又∵m∈n，∴m=9．…（12分）

点评：本题考查了数列求和的方法和等差数列的相关知识，属于中档题．采用裂项相消法、利用数列的单调性和不等式恒成立的处理，是解决问题的关键．