Question

19.如图，在四棱锥中，底面，，，是的中点.

（Ⅰ）证明；

（Ⅱ）证明平面；

（Ⅲ）求二面角的大小.

Answer 1

（Ⅰ）证明：在四棱锥中，因底面，平面，故.

，平面.

而平面，.

（Ⅱ）证明：由，，可得.

是的中点，.

由（Ⅰ）知，，且，所以平面.

而平面，.

底面在底面内的射影是，，.

又，综上得平面.

（Ⅲ）解法一：过点作，垂足为，连结.则（Ⅱ）知，平面，在平面内的射影是，则.

因此是二面角的平面角.

由已知，得.设，

可得.

在中，，，

则.

在中，.

所以二面角的大小是.

解法二：由题设底面，平面，则平面平面，交线为.

过点作，垂足为，故平面.过点作，垂足为，连结，故.因此是二面角的平面角.

由已知，可得，设，

可得

.

，.

于是，.

在中，.

所以二面角的大小是.