题目内容

对所表示的平面区域为Dn，把Dn内的整点（横坐标与纵坐标均为整数的点）按其到原点的距离从近到远排成点列：，

.

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）数列{an}满足a1=x1，且时，         ；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试比较（与4的大小关系.

解： 

故Dn内的整点都落在直线x=1上，且，故Dn内的整点按其到原点的距离从近到远排成的点列为（1，1），（1，2），…，（1，n），∴

（Ⅱ）证明：当时，

由，得

即  …………①

∴  …………② 

②式减①式，得 

（Ⅲ）证明：当n=1时，

当n=2时，（1+；

由（Ⅱ）知，当时， 

∴当

∵  …………12分

∴上式

∴

练习册系列答案
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对n∈N*，不等式
x＞0
y＞0
y≤-nx+2n
所表示的平面区域为Dn，把Dn内的整点（横坐标与纵坐标均为整数的点）按其到原点的距离从近到远排成点列：（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），…，（xn，yn）．
（1）求xn，yn；
（2）数列{an}满足a1=x1且n≥2时，an=yn(
1
2y1
+
1
2y2
+
1
2y3
+…+
1
2yn
)，求数列{an}的前n项和Sn；
（3）设c1=1，当n≥2时，cn=lg[2
y
2
_
•(1-
1
y
2
2
)•(1-
1
y
2
3
)•(1-
1
y
2
4
)•…•(1-
1
y
2
n
)]，且数列{cn}的前n项和Tn，求T99．
精英家教网在平面直角坐标系上，设不等式组
x＞0
y＞0
y≤-m(x-3)
（n∈N*）
所表示的平面区域为Dn，记Dn内的整点（即横坐标和纵坐标均
为整数的点）的个数为an（n∈N*）．
（Ⅰ）求a1，a2，a3并猜想an的表达式再用数学归纳法加以证明；
（Ⅱ）设数列{an}的前项和为Sn，数列{
1
Sn
}的前项和Tn，
是否存在自然数m？使得对一切n∈N*，Tn＞m恒成立．若存在，
求出m的值，若不存在，请说明理由．
对n∈N*，不等式组
x＞0
y＞0
y≤-nx+2n
所表示的平面区域为Dn，Dn内的整点（横坐标与纵坐标均为整数的点）按其到原点的距离从近到远排成点列．（x1，y1）（x2，y2），（x3，y3），…，（xn，yn）
（1）求xn，yn；
（2）数列{an}满足a1=x1，且n≥2时an=
y
2
n
(
1
y
2
1
+
1
y
2
2
+…+
1
y
2
n-1
)．证明当n≥2时，
an+1
(n+1)
-
an
n2
=
1
n2
；
（2007•黄冈模拟）对n∈N*，不等式
x＞0
y＞0
y≤-nx+2n
所表示的平面区域为Dn，把Dn内的整点（横坐标与纵坐标均为整数的点）按其到原点的距离从近到远排成一列点：（x1，y1），（x2，y2），（x3，y4），…，（xn，yn）
（1）求xn，yn
（2）若an=3n+λ•(-xn)n-1•2yn（λ为非零常数），问是否存在整数λ，使得对任意n∈N*，都有an+1＞an．

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