Question

（2007•黄冈模拟）对n∈N^*，不等式

x＞0 y＞0 y≤-nx+2n

所表示的平面区域为D_n，把D_n内的整点（横坐标与纵坐标均为整数的点）按其到原点的距离从近到远排成一列点：（x₁，y₁），（x₂，y₂），（x₃，y₄），…，（x_n，y_n）
（1）求x_n，y_n
（2）若an=3n+λ•(-xn)n-1•2yn（λ为非零常数），问是否存在整数λ，使得对任意n∈N^*，都有a_n+1＞a_n．

Answer 1

分析：（1））由-nx+2n＞0得x=1，从而得知D_n内的整点都落在直线x=1上且y≤n，因此D_n内的整点按其到原点的距离从近到远排成的点列为：（1，1），（1，2），（1，3），…，（1，n），从而得x_n=1，y_n=n；
（2）由（1）知an=3n+λ•(-xn)n-1•2yn=3n+λ•(-1)n-1•2n，先求出a_n+1-a_n的表达式，然后分n为奇数和偶数来讨论，当n为奇数时，得λ＜1，当n为偶数时，得λ＞-

3

2

 ，又λ≠0且λ∈Z．得知λ=1符合题意．

解答：解：（1）-nx+2n＞0⇒x＜2，又x＞0且x∈N^*，∴x=1（1分）
故D_n内的整点都落在直线x=1上且y≤n，故D_n内的整点按其到原点的距离从近到远排成的点列为：（1，1），（1，2），（1，3），…，（1，n），
∴x_n=1，y_n=n（5分）
（2）an=3n+λ•(-xn)n-1•2yn=3n+λ•(-1)n-1•2n，
∴a_n+1-a_n=3ⁿ⁺¹+λ•（-1）ⁿ•2ⁿ⁺¹-[3ⁿ+λ•（-1）^n-1•2ⁿ]=2•3ⁿ-3λ•（-1）^n-1•2ⁿ＞0
∴(-1)n-1•λ＜(

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2

)n-1…（*）                                      （8分）
当n=2k-1（k=1，2，3，…）时，（*）式即为λ＜(

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)2k-2对k=1，2，3，…都成立，∴λ＜1（10分）
当n=2k（k=1，2，3，…）时，（*）式即为λ＞-(

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2

)2k-1对k=1，2，3，…都成立，∴λ＞-

3

2

（12分）
∴-

3

2

＜λ＜1，又λ≠0且λ∈Z，
∴存在λ=-1，使得对任意n∈N^*，都有a_n+1＞a_n．                    （14分）

点评：此题考查简单的平面区域知识，及函数的分类讨论思想．